Primitive d'une fonction vérifiant une condition initiale donnée

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\), admettant des primitives sur cet intervalle.
Soit \(x_0 \in I\) et \(y_0\) un réel.
Il existe une et une seule primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F(x_0) = y_0\).

Démonstration

Existence
Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\).
Les primitives de \(f\) sur \(I\) sont les fonctions définies sur \(I\) de la forme : \(x \mapsto F (x) + C\) , où \(C\) est un réel.
On a \(F (x_0) + C = y_0\), c'est-à-dire \(C = y_0 - F(x_0)\).  
Ainsi, la fonction \(x \mapsto F (x) + y_0 - F(x_0)\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) et est telle que \(x_0\) a pour image \(y_0\).

Unicité
Soit \(F_1\) et \(F_2\) deux primitives de \(f\) sur \(I\) vérifiant \(F_1(x_0) = y_0\) et \(F_2(x_0) = y_0\). 
\(F_1\) et \(F_2\) étant deux primitives de \(f\) sur \(I\), elles diffèrent d'une constante réelle \(C\).
Pour tout \(x\) de \(I\), on a \(F_1(x) - F_2(x) = C\).
Donc, en particulier pour \(x = x_0\), on a \(F_1(x_0) - F_2(x_0) = C\), soit  \(C = y_0 - y_0 = 0\).
Par conséquent, pour tout \(x\) de \(I\), on a \(F_1(x) = F_2(x)\).
Les fonctions \(F_1\) et \(F_2\) sont égales sur \(I\).

Conclusion
Il existe donc une et une seule primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F(x_0) = y_0\).

Remarque

On dit que la relation \(F(x_0) = y_0\) est une condition initiale.